Подскажите, пожалуйста, есть ли легальная возможность рассчитаться за квартиру на территории РФ за наличные, а в право собственности вступить в Турции.

Можно, только оформить доверенность через консульство в РФ.

Можно, но Вы должны провести через турецкий банк сумму, эквивалентную указанной в оценочном акте, он сейчас стоит 2.600 лир, некоторые банки держат сутки деньги, перевод на валюту, потом на лиры обязателен, иначе сделка не пройдёт, банк выдаёт справку об этом.