Я гражданка РФ, хочу поехать к молодому человеку, у которого ВНЖ. Можно ли выехать из России по записи к врачу? Или лучше сразу написать заявление на имя Голиковой?

Тут же не вопрос выпуска со стороны РФ, пограничники РФ выпускают легко. А вот принимающая сторона не всегда впускает, нужны основания.

Если Россия выпустит, то лучше приглашение с объяснением от принимающей стороны.

Попроси, пусть напишет kutsu, срок отношений год+ подойдёт, никаких заверений у нотариусов и иных печатей не нужно, ко мне девушка так проехала.

Как вариант- лететь самолетом. РФ выпустит без проблем. Сухопутно- на лечение, РФ тоже выпускает при наличии документов, подтверждающих лечение. В Фи вы въедете на основании близких отношений. К Голиковой тоже можете написать, но это долгая история. Сначала возможно прийдёт несколько отписок-отказов. Потом разрешение на однократный выезд, потом уже на многократный.