Для того, чтобы пересечь границу в Финляндию на основании брака, нужно свидетельство о браке или записи в паспорте хватит?

Копия ВНЖ и российского загранпаспорта резидента/финского паспорта гражданина, приглашение, копии документов, подтверждающих родство. Если фамилия в документе, подтверждающем родство, не соответствует текущей - копии документов о смене фамилии (свидетельство о браке и т. п.)

Приглашение вам не нужно.