Нужно ли идти в миграционную службу, если я приехал в Казахстан, снял квартиру на неделю, пока ищу вариант на долгосрок, собираюсь остаться больше чем на 30 дней? Давать им адрес недельной квартиры, а потом идти опять и давать другой адрес?

Это должен делать хозяин квартиры. Но в принципе это дополнительные сложности и если не было регистрации в отеле - не обязательно. Есть 30 дней на регистрацию. А вот после отеля да, они автоматом выписывать должны и там всего 3 дня чтобы в новом месте уведомление отправить