Скажите, на что обратить внимание при аренде квартиры в Грузии касательно договора/нотариуса?

На цену.

В делах по аренде не участвует нотариус. Позвать его можно, но я о таком не слышал и ничего не скажу. А обратить внимание нужно ровно на те же вещи, что в России: наличие договора, наличие доков на квартиру и совпадение инфы из них с инфой в договоре, размер ежемесячной аренды и отдельно прописанная сумма, которую вы вносите. Если вас торопят, просят внести какой-то залог до оформления документов или используют иную базовую мошенническую магию — тоже повод задуматься. Можете на видео снять факт передачи и пересчёта денег для собственного спокойствия.

Не совсем про договор, но очень рекомендую проверить задолжность по счетам вода\электричество\газ.