Подскажите, есть вариант аренды автомобиля в Стамбуле, для поездки в Болгарию? Такое вообще возможно?

Нет, не получится. Для этого Вам владелец прокатной конторы должен сделать нотариальную доверенность. Они на это не пойдут с незнакомым человеком.