За какое время до окончания residence permit в Лондоне лучше подавать документы? При подаче документов BRP нужно сдавать? Или я смогу им пользоваться до даты окончания?

За месяц - вполне ок. карточкой BRP Вы пользуетесь до окончания срока и посылаете им её в разрезанном виде, когда уже получите новую. они всё подробно напишут в письме, где будут сообщать, что решение по заявлению принято и выслана новая карточка.