Если у меня уже был кодиче фискале в Италии - он остается? Мне нужно зарегистрироваться на юниверситали и он сам нашел этот кодиче и предлагает вставить.

Он пожизненный. Можете потом сходить в Agenzia delle Entrate и получить бумажный дубликат, а когда получите permesso и пропишитесь, то получите его в виде tessera sanitaria.