Подскажите пожалуйста, как оперативно найти ребёнку детский сад в Милане?(Пусть даже частный. На него ещё не готов ВНЖ)

Оперативно сложно, даже частный. ВНЖ для школы точно не нужен, может для сада тоже не требуется.

В государственный вам вряд-ли попасть, но можете попробовать. Вам надо обратиться в комуну Милана, попробуйте написать им. Вам там всё расскажут. Частные садики сами ищите по интернету. Достаточно написать Milano scuole materne private/paritarie.