Каким образом можно остаться в Монголии дольше, чем на 1 месяц? Только если по приглашению человека или организации? Если я куплю недвижимость в УБ это может как то повлиять на что-то?

Тезисно: работа, учеба, брак с гражданином; за покупку недвижимости ПМЖ не дают.

Вроде как можно продлить пребывание один раз на 30 дней, нужно уточнять в миграционной службе, знакомый в апреле так делал, но не факт, что всё ещё работает. И учтите, что сменить тип визы с туристической на другой внутри страны нельзя, нужно выезжать.