Нормально ли то, что агент предлагает для получения икамета заключить договор на какую-то его квартиру, а снять потом по факту любую другую? Или лучше так не делать?

Если живёте не по тому адресу, где выдан икамет, то икамет могут аннулировать. Если переезжает, надо подавать на новый. Конечно, может вам повезёт и не проверят. Но я лично бы не стал работать с таким агентом. Что ещё он вам наговорит?