Уточните пожалуйста такой момент: если машина оформлен на супругу а управляю автомобилем я, будут ли ко мне вопросы у монгольских ДПС?

Чисто по логике никаких проблем быть не должно. В ЕАЭС и многих других странах при временном ввозе авто, его можно передавать супруге, детям, родителям без разрешения таможенных органов. Я думаю в этом плане законодательство у стран одинаковое.

На практике, мы с мужем всегда так ездим) я прохожу границу, меняемся. Но при таком раскладе нас не останавливали. Девушка из Монголии выше писала, что не проверяют вроде.

Если рядом владелец, то проблем нет. Нет проблем ни при переходе границы, ни при передвижении внутри Монголии. Меняться на границе местами тоже не требуется, водитель заполнил документ на Монгольской границе и поехали.