Подскажите, пожалуйста, на какие документы стоит поставить апостиль перед отъездом с целью последующего оформления ВНЖ?

Все переводы доков лучше делать здесь у судебных переводчиков. Тогда проблем точно не будет. А на переводы, сделаные не в Сербии, смотрят косо.

Еще, перед отъездом, крайне желательно выписать с супругом друг другу генеральные доверенности, где перечислено все - купля-продажа недвиги, машин, открытие/закрытие счетов в банках, представление своих интересов в судах, гос. органах и т. д., и т. п., как на территории РФ, так и за ее пределами (эта фраза обязательна). Короче, на все-все-все. Включая и возможность продажи мужа на рынке рабов в Турции И, соответственно, тоже перевести их в РС. Безумно удобная штука, очень сильно облегчающая жизнь здесь и, если что, не придется всей семьей мотаться в РФ - достаточно слетать кому-то одному.

Апостили именно для Сербии не нужны совсем, берите просто оригиналы документов, всех что есть)

На документы РФ апостиль не нужен в Сербии. Только если что-то выдано другим государством. А вот нотариальный (! именно нотариальный. а не просто перевод) некоторых документов делать надо. Можно сделать это в РФ, можно в Сербии. В Сербии только придется искать такую контору , спрашивать непосредственно в полиции. У нас был и апостиль на свидетельстве о браке, и нотариальный перевод на английский, но все равно попросили сделать на сербский. Справки если только о доходах, но это для открытия счетов, их проще заказать потом онлайн. Перевод банки не просят. Никаких справок в комплекте для ВНЖ нет. И задайте вопрос отдельно по детям. Там есть своя специфика, связанная не с ВНЖ, а со школами. Я тут не курсе.