Мы с семьёй въехали в Португалию по шенгену, теперь думаем про возможность остаться. А есть ли путь через обучение: подать на внж, поступив в ВУЗ, уже находясь в стране? Или с тур. визой в ВУЗ не возьмут?

Думаю, нужно обращаться непосредственно на интересующие вас факультеты - ситуация такая, что могут пойти навстречу. Я отучилась в магистратуре здесь на основании российского диплома, приём у них летом, начало обучения в октябре. Вот мой факультет стекловыдувания https: //vicarte. org/people/ - как видите, на сайтах вузов люди с личными имэйлами представлены, можно составить типовое письмо с описанием своей ситуации и целями и разослать дирекции факультетов, которые вас интересуют.

Можно. В Коимбре есть все и жилье дешевое. Но в Порто и Лиссабоне тоже можно. Можно устроить детей и сопровождать их.