У меня разрешение на работу в Эстонии. Семье, едущей со мной (жена и дети) это пойдет за основание? Или оформлять лечение?

Что значит разрешение на работу? Контракт есть?

Принцип простой - на всё должны быть бумаги. Если есть контракт, в котором прямо указано что рабочее место в зарубежье и работа начинается тогда-то - то норм. Дисстанционная работа на иноземов со связью через Интернет не годится. Если и жена официальная (со свидетельством о браке с Вами) и дети Ваши - несовершеннолетние и официальные (со свидетельстами о рождении, в которых Вы указаны как их отец) - то всё будет норм при предъявлении этих бумаг (контракт и свидетельство о браке можно в копии, со свидетельствами о рождении оригинальными всяко на границу надо ехать).