Получил икамет, пошёл в банк, чтобы открыть счёт - говорят, что нужна... как я понял прописка... или какая-то регистрация по месту жительства.

Да, прописку требуют. Сходите в геч, они пропишут. Если вы один квартиру снимаете, можно через е-девлет еще прописаться. Но проверьте, к какому геч привязан район, где снимаете жилье, геч может быть не тот же, где проходили рандеву.