Нужно ли оформлять белый картон если у одного человека гражданство ЕС, а у второго ВНЖ ЕС?

Надо.

Белый картон (процедура его получения называется регистрация места пребывания иностранного гражданина) подтверждает место, где временно живёт иностранец и никак не зависит от гражданства иностранца и его статуса в других странах, кроме Сербии И это обязанность именно принимающей стороны, то есть хозяйки вашей квартиры.