Подскажите, пожалуйста, а что будет, если мы пробудем в Турции не 60 дней, а например 62? Т. е. пересидим на пару дней больше?

Штраф при вылете.

До 10 дней нет штрафа и запрета на въезд. В следующий приезд в этом же полугодии у вас будет на 2 дня меньше. Штраф зависит от гражданства. Недавно гражданин РФ вылетал с просрочкой 35 дней - заплатил 390 лир. Так же есть такая опция, которая позволяет не получить невъезд: это дать подписку, что в следующий приезд в течение 10 дней оформите внж. Это называется Şartlı giriş. И можно въезжать на следующий день - и подавать документы на внж:)