если я выезжаю из РФ на основании контракта, но ещё хочу провести с собой маму, то нужно ли помимо свидетельства о рождении делать приглашение?

Сложно сказать. Смотрите, есть такой пункт: 19) граждан Российской Федерации, выезжающих из Российской Федерации к месту проживания членов семьи (супруги, родители, дети, родные братья и родные сестры, дедушки, бабушки, внуки, усыновители, усыновленные), опекунам и попечителям лиц, в том числе являющихся иностранными гражданами, проживающими за пределами Российской Федерации, при условии предъявления копий документов, подтверждающих право члена семьи на проживание в иностранном государстве либо наличие у него гражданства иностранного государства, а также документов (копий документов), подтверждающих степень родства или установление опеки (попечительства); То есть, вы уже вроде должны там жить, чтобы вашу маму выпустили.