Подскажите, пожалуйста, если есть паспорт Эстонии, то можно открыть счёт в любом банке ЕС или только Эстонии? И для открытия счета нужен только паспорт?

Зависит от банка.

У меня такой же кейс был недавно Самое удобное открыть счёт в lhv удаленно (нужна только ID карта ), открывается моментально и без проблем + первая карта с бесплатным обслуживанием , можно забрать в отделении или заказать на дом , в течение 3-5 дней рабочих делают До этого пробовал в Swedbank , но там чёт все сложно было , требовали всякие подтверждения откуда деньги будут, сколько и как они получены и я забил на них и открыл в lhv.