Может кто сталкивался с такой ситуацией и знает как ускорить процесс?

Temporary travel document обязаны выдать, только российским гражданам такое не выдают, у других стран нормальная практика, выдавали в 24 часа (итальянке в Америке в консульстве дали, правда до пандемии было)

Если иностранный гражданин потерял документы (паспорт, разрешение на работу или патент, миграционную карту и т. д.), ему следует обратиться с заявлением о факте утраты документов в отдел полиции по месту нахождения и получить справку. Иностранец должен получить в консульстве краткосрочный документ для возвращения на родину В соответствии со статьей 8 Соглашения РФ с Евросоюзом об упрощении выдачи виз граждане ЕС), утратившие документы, могут покинуть Россию без виз или иных разрешений.