Выпустят ли бабушку с паспортом РФ с дочерью (с паспортом РФ), зятем и внуками (все граждане Эстонии) в Эстонию без дополнительных танцев с бубнами (лечением для бабушки).

Если есть загранпаспорта у вас с эстонской визой, то да.

Зять нет, а внуки - граждане Эстонии, живущие в Эстонии - это основание для выезда. Даже не граждане, а просто официально живущие на основании ВНЖ - это тоже основание.