Подскажите в каком банке Тбилиси можно карту открыть? Так чтобы быстро и без сильных допросов)

Может, вам еще ключ от квартиры, где деньги лежат? Быстро — нигде. Относительно просто и гарантированно в Credo bank, но там огромные очереди и лучше приходить к открытию. Сам банковский сервис у них не ахти, то swift-переводы не ходят, то в интернете карта не работает. Лучше собрать нужный пакет документов и попытать удачу в Bank of Georgia или TBC. С последним осторожнее, потому что там повадились давать карты для нерезидентов с очень ограниченным функционалом, лучше сразу это уточнить.