Моя старая виза заканчивается 27. 06 ( греческая С) А новая виза начинается с 28. 06 ( испанская С)

Да, можете и находится и выезжать по новой визе.

Вы можете въехать по старой и продолжать находиться по новой. Выезжать для этого не нужно, чтоб заехать в день её начала)) Мне здесь продлевали как-то визу, и я продолжала спокойно пребывать в стране с ней.