Скажите пожалуйста это точно, что если российский паспорт заканчивается через год, то мне он в Сербии не нужен? Как быть: не получать или получить загран в консульстве на 10 лет и биться за ВНЖ?

Быстрее получить второй загран пока Вы в России, поверьте.

Без русского паспорта через месяц после дня рождения у вас отключится доступ к банковским счетам, налоговому кабинету и госуслугам. Все будут требовать новые данные. И доверенность по факту перестанет работать в России, хотя это и противоречит закону, но де факто не работает, если паспорт уже не действует.