Подскажите, если есть запрет на выезд из страны в госуслугах, в Абхазию не пустят? насколько строго смотрят там на это.

Не "в Абхазию не выпустят", а из России не выпустят. И не только в Абхазию, а в любую другую страну тоже. Абхазы пристально смотрят на грузинские фамилии, а что там у вас по российским госуслугам им до лампочки. Только до них вы, получается, просто не дойдёте, завернуть российские погранцы. Проверять надо, как утверждают, на сайте судебных приставов, есть или нет на вас открытого делопроизводства у них.