Открыты ли какие-то лечебницы в Абхазии и какие?

Что вы имеете ввиду под "лечебницами"? Источники открыты и сероводороднве, и радоновые в горах. Около сероводородных есть грязи.

Санаторное лечение есть в Амра-парке (Гагра), в Самшитовой роще (Пицунда), в Литфонде (он же пансионат Минатома, там же в Пицунде). У всех эти заведений есть сайты с описанием процедур.