В Армении при получении соц карты как-то фигурирует договор аренды?

Нет, при соцкарта — это номер на обычном листке бумаги. В паспорт ничего не ставят.

"Соц карта" — это присвоение номера и справка с печатью об этом факте, не какое-то специальное удостоверение. Договор, как правило, не просят (но могут просить свидетельство о рождении, а в особо извращённых случаях — ещё и свидетельства о рождении родителей). Зависит от отделения. В паспорт ничего не ставят.