Посоветуйте пожалуйста хорошее агентство аренды жилья, чтобы обязательно делали регистрацию

Ну это больше от хозяина зависит, а не от агенства. Главное, чтобы он был согласен. Можно в Duna House обратиться, там есть русскоговорящие менеджеры точно.