Скажите, пожалуйста, на арендованной на СК машине пускают на Юг?(При условии, что водитель-турист прилетел с юга изначально)

Если это даёт рентная компания - разрешение.

Если в страховке отмечаема оплата страховки для юга то да.

Пропускают, предупредите в офисе, что вам нужна машина для выезда на южный. Южную страховку сделаете уже на той стороне сразу после пересечения границы.