Для получения соцкарты в Армении нужен перевод именно того паспорта, по которому въехал в Армению последний раз и какое-то доказательство адреса, вроде договора аренды?

Перевод паспорта по которому въезжали. договор аренды не нужен. нас просто попросили написать адрес проживания на бумажке.

Да, верно, может еще понадобится свидетельство о рождении и фото паспортов родителей, но у нас не спрашивали.