Если я буду находиться в Армении, а следом поедет жена с ребёнком. Требуется ли ей разрешение от меня на пересечение границы ребенком?

Да.

Нет . С одним из родителей спокойно может пересечь ребёнок границу.

Нет, не нужно. Согласие нужно, если ребёнок едет за границу с кем-то, кроме родителей или опекунов. Например, с бабушкой, тренером или учителем. Если ребёнок выезжает за пределы России с одним из родителей, от второго не нужно получать согласие. Все это прописано на Госуслугах. https: //www. gosuslugi. ru/help/faq/culture/100341.

Да за ранее напишите доверенность на детей, на всякий случай!