Можно ли пересылать документы с визой из посольства Эстонии в одной стране в посольство Эстонии в другой?

Хм. Паспорта заграницу по идее нельзя высылать. Из одной страны в другую может быть исключение если в какой то стране нет Эст представительства. Вообще, врать не буду. Спросите в консульстве.

При оформлении паспорта можно указать в ходатайстве место выдачи.