Подскажите, как из центра (Галата) быстрее всего и удобнее добраться до миграционной Эсеньюрт?

Используйте google maps. Месяц в стамбуле живу, гугл довольно отлично прокладывает маршруты, при этом учитывая расписание маршрутного транспорта.

Ближе к галату есть трамвай т1 садись на это сторону багжилар выйдешь в жевизлибаг там пересадка на метробус этот метробус едет до есенюрт самый быстрый ход это.

76е.

Я ехал на метро до станции Махмутбей (М7), а от метро потом вызывал такси до геча (ехать ещё полчаса где-то)

Метробус без пробок до остановки бейкент, оттуда такси / пешком.