Скажите, пожалуйста, в каком банке можно открыть счёт гражданину РФ.

Втб армении, ArdshinBank.

Никаких строгих запретов нет, но день ото дня требования самих банков становятся строже. Моя рекомендация: помимо паспорта, как минимум иметь доказательство о регулярных доходах (2 НДФЛ, выписка с прошлого банка за предыдущие шесть месяцев, трудовой договор или договор об оказании услуг и т. д) и договор аренды месяцев на шесть (пока что этого обычно хватает для многих банков)