При регистрации в полицейском участке нужно ли отдавать паспорт? У меня просят оставить паспорт на 10 дней. Это легально?

Да, но если вы объясните что вам нужен он, например, для открытия счета, то могут (но не обязаны) пойти на встречу. При этом важно понимать, что справку о том, что у вас забрали паспорт скорее всего не дадут, потому что тут это не принято.

Сказали что легально, но мы пришли с арендодателем и нам должны сегодня сделать на месте.

Мы под роспись забрали паспорт с собой, типа после проверки полицейским потом придем с паспортом и нам поставят штамп о регистрации.