Посоветуйте банки для открытия счета с минимальными условиями (я имею ввиду без социальной или идентификационной карт). Есть договор аренды, выписки с российских счетов, справки о доходах.

Ardshinbank. 15k драм за открытие одной карты, нужен только загран.

Точно не ваш вариант: HSBC. С 2-НДФЛ и договором аренды вам не смысла искать первый попавшийся, эти вещи или трудовой договор обычно являются «дополнительными пунктами».