Подскажите, профессия парикмахера в Испании востребована? И можно ли работать не имея права на работу?

Нельзя. Это называется нелегал, как и везде.

В Барселоне на каждом углу пакистанцы за 5 евро стригут и к ним очереди.

Востребована. Работать официально нельзя. Если только на дому у себя. Но наработать клиентуру будет нелегко.

Хороший парикмахер востребован, но надо нарабатывать базу, стричь на дому у себя или у клиента. Официально работать не можете, но это не такая уж и проблема.