Не подскажите, если BAH выдал бумажку на три месяца, что я легально нахожусь на территории Венгрии, по ней можно транзитом выехать из Венгрии (

Чего же Вы там не спросили? .

Временное разрешение на время изготовления внж или что?

На бумажке должно быть все написано. Обычно она для однократного въезда и легального нахождения на территории страны на период оформления доков, и не предусматривает многократный въезд.