Билет взят на старый паспорт (ещё не просрочен). С собой будет и старый и новый. Погранцам показывать оба? Или старый только?

Вы можете прилететь (показать при посадке) старый паспорт, а на паспортном контроле новый. Главное показывать один и тот же паспорт и российским и грузинским погранцам.

У меня такая же история. Написала в поддержку белавии. Вот ответили: После того как получите новый паспорт, если в билете и в паспорте фамилия и имя совпадают, напишите нам на support@belavia. by письмо с просьбой изменить данные пассажира и объяснением, почему данные изменились, укажите номер билета, а также пришлите копию паспорта. Как только мы получим необходимые сведения, мы внесем изменения. Перелет совершается по действующему паспорту, данные которого внесены в билет.