Подскажите, какое такси заказать в Батуми, ночью нужно в аэропорт? Максим не даёт сделать заказ, другие приложения работают?

Никакое. Ни у одной службы такси в Батуми нет постоянного разрешения на передвижение. Так же, как и у вас. Вам надо найти водителя отдельно. А затем взять разрешение на передвижение ночью, позвонив 144-1. Выдают только при весомой причине, обязательны ваши данные паспорта, данные машины, номер, данные водителя и причина, конечно.