А как получить паспорт Аргентины, если приехать просто как турист?

Никак.

Если приехать как турист, то в течение тех трёх месяцев что ты там находишься без визы, можно поступить в универ и остаться по учебе. Но это надо зимой приезжать, и перед этим сдать экзамен по испанскому.

Сначала ВНЖ оформить необходимо.