Подскажите, если заканчивается рабочая виза уже через несколько дней, а на карту ещё не подался, могу ли остаться на основании безвиза и податься от работодателя на карту?

Да, можете, сейчас в Польше действует карантин. Согласно закону "Антикризисный щит" вы можете оставать до окончания карантина и должны будете покинуть страну в течение 30 дней после, если у вас нет документов, позволяющих вам остаться.