Подскажите, животное в Тбилиси может перевозить в самолёте только владелец, который указан в ветпаспорте? Можно ли записать кошку на человека А, чтобы при этом вёз её человек B? Что тогда дополнительно из документов понадобится?

Можно не владельцу, но лучше уточнить в авиакомпании.

Формально владелец (наверно доверенность нужна), но ветконтроль на вопрос, выпустили бы не с хозяином , во Внуково сказал, что они бы в любом случае пропустили бы животное (типа им важна судьба животного)

Во Внуково кроме внтконтроля никто не смотрел документы на кошек.

Можно хоть с кем, главное, чтобы документы на перевозку животного (ф1, которую на ветеринарном контроле будете на ф5 менять) были оформлены на того, с кем полетит животное.