Подскажите как выглядит процедура регистрации/прописки в Армении? Насколько она сложная?

Но хозяин не против вас у себя прописать? Для этого договор аренды не нужен.

Главное чтоб хозяин не был против. Дальше сами можете всё сделать. Если им нужен договор, ну распечатайте)

И кстати лучше настоять на договоре. Платит он налоги или нет это его дело, наличие договора на это не влияет, но эта ваша минимальная защита что он вас одним днём не выселит.