Подскажите, пожалуйста, в каком районе лучше всего остановиться в Тбилиси, чтобы было больше всего достопримечательностей?

Мтауминда.

Я бы сказала что из Ваке недалеко до центра... если на машине..

Мтацминдский. Старый Город, Сололаки. Всё практически в пешей доступности. Если не страшны брусчатка и подъемы, то прям Мтацминду можно рассматривать.