Пытался зарегистрироваться в консульство в Гюмри сделать загранпаспорт.

Если внутри РФ госорганы работают медленно, все сделано максимально неудобно, с чего Вы взяли, что за границей они будут работать хоть сколько-нибудь сносно?

Ничего, надо каждый день проверять в ожидании что появится свободный номерок. Но не рассчитывайте, что сможете записаться на апрель) В лучшем случае - на май сможете (только чтобы документы подать. А потом ещё ждать долго пока будут паспорт делать) Проще за это время съездить в РФ подать и вернуться Будет быстрее.

Я проверял каждый день неделю подряд и дождался пока появятся места для записи.

У меня кажется там есть запись, которую я могу отменить. Чуть позже с компьютера гляну.