Вообще, история любых географических названий - штука очень запутанная. Вряд ли кто-то сегодня сможет дать на 100% точный ответ на вопрос, почему Китай стали называть именно этим словом. Отмечу, что ведь есть еще имена China и Sinae (или латинизированная версия Sino, которая ныне используется в качестве приставки, когда говорят о явлениях, имеющих отношение к Китаю). Что касается China - с этим историки более-менее разобрались и решили, что оно пришло в европейские языки от имени китайской династии Цинь (правили до нашей эры), которое записывалось Cina, а позже трансформировалось в China.
C русским словом "Китай" все еще сложнее. Расскажу версию, которая мне кажется наиболее правдоподобной. Историки пишут, что на севере современного Китая жило монгольское племя китаев, и соседи начали называть эти земли по имени их обитателей: "хитан", "хитай", "катай" и собственно "китай". Европейские торговцы принесли и распространили это слово в своих странах. Государство китаев позже распалось, но, столетия спустя, слово "Китай" пришло в русский язык и прочно там обосновалось (около 15 века). Эти данные приводит этимологический словарь Фасмера. В англо-русских словарях, например, авторитетном издании Мюллера, можно до сих пор найти слово Cathay - ныне оно используется как поэтическое название Китая. Кстати, мне довелось полетать авиакомпанией Cathay Pacific Airways, что базируются в Гонгконге.