Правильно я понимаю, что картон делается с открытой датой?

Конечная дата может и не указываться, но Вы все-таки имейте в виду, что: 1) регистрировать Вас - обязанность собственника или оператора объекта проживания, 2) регистрировать они Вас обязаны во всех местах, где Вы проживаете, т.е. этот картон действует ровно столько, сколько Вы живете в соответствующем объекте, и 3) заявить проживание где-либо, а жить в другом месте - формально тоже является нарушением и не перестает им быть только от того, что это редко проверяют, и еще реже за это наказывают

Нам проставили только дату заезда

Бк делается на месяц. Если нет ВНЖ, то через месяц надо визараниться и заново получать БК.