Можно 4-5 раз приезжать и оставаться например 13-14 дней в Азербайджан в течение одного года? Это получается что регистрацию лучше не делать на 90 дней?

Регистрация автоматически прекращается при покидании страны. Как бы вам правильно объяснить 🧐 пример:

Вы прилетели сегодня 15июля на 20 дней, вы должны зарегистрироваться в течение 15 дней. Предположим 18 июля вы это сделали и в документах они ставят регистрацию именно с 18 числа на 90 дней (по 16.10.26), хотя вы уже 4 дня в Азербайджане. Миграционку это не волнует, тут самим надо дни считать своего пребывания в стране.

И вот спустя 20 дней 03 августа вы улетаете, регистрация автоматически закрывается при пересечении границы на таможне. Итого: потрачено 20 дней из 90, хотя регистрация была на 90 дней.

И даже если вы в течение этих 90 "зарегистрированных" дней опять вернётесь больше чем на 15 дней (до 16 окт), то опять нужна регистрация, т.к. все обнуляется с вашим пересечением границы.